REALNI BROJEVI

 

-Def. n-arna operacija na skupu X je .

-Pod skupom realnih brojeva podrazumevamo skup R u kome su definisane dve binarne operacije + i * i binarna relacija , tako da su ispunjena svojstva:

1) Svojstva sabiranja:

2) svojstva mnozenja:

3) svojstva relacije:

Osobine (1.2)-(1.4) govore da je skup u kome je definisana binarna relacija +, grupa. Osobine (1.1)-(1.4) govore da u odnosu na sabiranje skup R ima strukturu Abelove grupe. Pod prstenom se podrazumeva skup sa dve binarne operacije koje imaju osobine (1.1)-(1.4) sa (2.2) i (2.5). Zajedno sa njima, aksiome (2.1)-(2.5) oznacavaju da je R u odnosu na sabiranje i mnozenje polje. Relacija totalnog uredjenja  na osnovu (3.5) i (3.6) slaze se sa operacijama + i * te takvo polje zovemo uredjenim poljem. Aksioma 4 je aksioma neprekidnosti.

 

Podskupovi skupa realnih brojeva

Princip matematicke indukcije:

Def. Skup N prirodnih brojeva jeste najmanji induktivan poskup skupa R koji sadrzi 1.

Peanove aksiome:

Pod skupom celih brojeva podrazumevamo skup Z=N U {0) U (-N).

(Z,+,*) je komutativan prsten sa jedinicom (najmanja Abelova grupa sa jedinicom).

 

Pod racionalnim brojem podrazumeva se svaki broj oblika p/q, peZ, qeN. Skup svih racionalnih brojeva oznacava se sa Q.

, medjutim ne zadovoljava aksiomu neprekidnosti, i u tome je osnovna razlika izmedju Q i R.

 

Posledica aksiome neprekidnosti (supremuma)

Teorema: Svaki neprazan, odozgo ogranicen podskup skupa R ima supremum u R. Svaki neprazan, odozdo ogranicen podskup skupa R ima infimum u R.

Stav:

 

Arhimedova teorema: Za proizvoljne pozitivne realne brojeve a,b postoji i jedinstveno je odredjen prirodan broj n, takav da je .

Posledica:

 

Posledica:

Koliko god bio mali interval, on sadrzi racionalan broj, i kaze se da je Q gust u skupu R.

Kantorova Teorema o umetnutim odseccima:

Svaki niz umetnutih odsecaka na realnoj pravoj ima neprazan presek.

Stav.

Kod Q (Kantor):

Arhimedova teorema + Kantorova teorema ó aksioma supremuma u uredjenim poljima

 

Teorema karakterizacije supremuma:

Dedekindova Teorema:

Svaki Dedekindov presek i R je oblika

Teorema: Dedekindova teorema è aksioma supremuma:

 

 

Skupovi | Realni brojevi | Kardinalni brojevi | Funkcije | Nizovi realnih brojeva | Asimptotska oznaka o i njena svojstva | Diferencijalni racun | Metricki prostori
Appendix:
    Parcijalni izvodi | Tablica izvoda | Tablica integrala