NIZOVI REALNIH BROJEVA

 

Definicija: Niz u skupu X je svaka funkcija  kod koje je n-ti clan , a sam niz oznacavamo sa .

Definicija: Niz  je:

1.      ogranicen ako je  ogranicen

2.      (strogo) rastuci ako je

3.      (strogo) opadajuci ako je

4.      monoton ako je rastuci ili opadajuci

Okolina

Pod otvorenim intervalom na krajevima a i b podrazumeva se skup (a,b)={xeR|a<x<b}, a pod odseckom ili segmentom sa krajevima a i b [a,b]={xeR|a<=x<=b}.

Pod okolinom tacke xeR podrazumevacemo bilo koji otvoreni interval skupa R koji tu tacku sadrzi. Okolinu tacke x oblika (x-e,x+e)={x| |y-x|<e} za e>0, zvacemo e-okolinom tacke x. Izmedju elemenata skupa R x i y uvodimo i pojam rastojanja formulom d(x,y)=|x-y|. Nejednakost trougla daje osobinu rastojanja d(x,y)<=d(x,y)+d(y,z) koja se i naziva relacijom trougla.

 

Definicija: Za tacku a kazemo da je limes niza realnih brojeva ako za svaku okolinu U tacke a postoji prirodan broj n0 takav da je aneU za sve prirodne brojeve n vece od n0:

Definicija: Niz je konvergentan ako je a konacan broj. U slucaju da je a beskonacan broj ili da granicna vrednost ne postoji, kazemo da niz divergira.

Dakle, niz tezi ka a ako su mu clanovi an proizvoljno blizu broju a cim je n dovoljno veliko.

x nije limes niza ako

Niz je divergentan ako nije konvergentan.

Primeri:

1.  jer na osnovu Arhimedovog svojstva
2. Neka je

 

Stav: Ako niz ima granicnu vrednost, ona je jednoznacno odredjena.

Definicija: Ako je limes niza za n tezi beskonacno nula, kazemo da je niz nula niz.

Stav: Zbir i razlika dva nula niza su nula nizovi, a proizvod ogranicenog niza I nula niza je nula niz.

 

Okoline beskonacnih tacaka:

E – okolina

 

 

Svojstva konvergentnih nizova

Stav (jedinstvenost niza):

Stav:

Posledica:

Stav:

Stav (svaki konvergentan niz je ogranicen):

Stav (algebarske operacije konvergentnih nizova):

Teorema (Stolc):

Podnizovi

 

 

 

Skupovi | Realni brojevi | Kardinalni brojevi | Funkcije | Nizovi realnih brojeva | Asimptotska oznaka o i njena svojstva | Diferencijalni racun | Metricki prostori
Appendix:
    Parcijalni izvodi | Tablica izvoda | Tablica integrala