DIFERENCIJALNI RACUN

Brzina

Tangenta krive

Definicija: Izvod funkcije f:AàR u tacki

Definicija: f:AàR je diferencijabilna u tacki

drugacje napisano:

Stav: Funkcija f je diferencijabilna u tacki akko ima izvod u toj tacki.

Dokaz:

 

 

Primer:

Definicija (desni i levi izvod):

Tablica izvoda:

Stav (pravila diferenciranja):

Stav (po izvodu kompozicije):

Stav (izvod inverzne funkcije):

Osnovne teoreme diferencijalnog racuna

Fermaova Teorema:

Rolova Teorema:

Kosijeva Teorema:

 

Lagranzova Teorema (o srednjoj vrednosti):

Primeri:

Posledica:

Stav:

Stav:

Darbuova Teorema:

Funkcija je neprekidna na zatvorenom, pa dostize ekstremum.

Lopitalovo pravilo:

Teorema:

Teorema:

Primeri:

Visi izvodi

 

Lajbnicova formula

 

Tejlorova formula

Definicija:

Teorema:

Posledice:

Stav (ostatak u Peanovom obliku):

 

Meklorenovi razvoji ekstremnih funkcija

- Exp i trig – Lagranz; Power, log – Kosi

- Za odredjivanje ostataka stavlja se vrednost izmedju ostatka za θ=0 i θ=1.

Konveksne funkcije

Stav:

Stav:

Stav:

Stav:

Ispitivanje funkcija

Definicija:

Stav:

(1) Prema Fermaovoj teoremi da bi diferencijabilna funkcija imala lokalni ekstremum u nekoj tacki x0, neophodno je da njen izvod u toj tacki bude jednak nuli.

(2) Neka funkcija ima u tacki x0 prvi izvod jednak nuli, i definisan drugi izvod. Ako je drugi izvod u tacki x0 manji od nule, onda funkcija u tacki x0 ima lokalni maksimum, ako je veci od nule, lokalni minimum.

 

Definicija:

x0 je prevojna tacka funkcije akko na nekoj okolini tacke x0 funkcija f menja konveksnost u toj tacki.

Stav:

Asimptote

Graficko predstavljanje funkcije

1) domen, asimptote, specificna svojstva (parnost, periodicnost, znak, nule…)

2) diferencijabilnost, prvi izvod, tok u lokalnom ekstremumu

3) drugi izvod, konveksnost i prevojne tacke