Svakako najfascinantniji sistemi sa kojima se čovek sreće jesu oni čiji su elementi živa bića: biljke, životinje ili pak sami ljudi. Kompleksnost ovakvih sistema je oduvek fascinirala ljude a složenost zakonitosti koje vladaju u sistemu predstavljala vrhunski izazov za one koji su pokušavali da ih razumeju ili da sistemom upravljaju.

• živa bića intereaguju sa okolinom, rađaju se i umiru čime se sistem neprestalno menja,
• stanje u kome se sistem nalazi najviše zavisi od broja elemenata tog sistema.

Ponašanje živih bića, pogotovo ljudi, se teško može opisati matematičkim jednačinama zbog mnoštva faktora koje treba uzeti u obzir kao i nepoznavanja posledica delovanja svih tih faktora. Zato ovi sistemi nisu podložni klasičnim matematičko-logičkim načinima analize. Sa druge strane, sistemi čiji su elementi vozila u saobraćajnom, novac u ekonomskom ili zahtevi u računarskom sistemu imaju (relativno) predvidljivije ponašanje i egzaktna pravila pa se mogu analizirati matematički tj. statistički.

U ovom tekstu biće posmatran računarski sistem i zahtevi /eng. tasks, jobs, threads/ koje korisnici upućuju tom sistemu. Zahtevi dolaze u sistem (rađaju se), provode u njemu neko vreme i potom odlaze iz sistema (umiru). Stanje u kome se sistem nalazi, vreme koje će zahtevi provesti unutar sistema kao i ponašanje sistema kao celine najviše zavisi od broja zahteva i njihovog rasporeda. Dakle, vrlo slično već pomentim sistemima živih bića ali jednostavnije za analizu.

Da bi se sprovela analiza ovakvog sistema, prvo se moraju uvesti izvesne početne postavke.

Prva pretpostavka koju treba uvesti je sasvim u skladu sa fizičkom ostvarljivošću sistema. Sistem mora biti ograničenog kapaciteta. Neka se,dakle, u njemu može u isto vrema nalaziti najviše n zahteva gde . Broj zahteva koji se trenutno nalaze u sistemu označićemo sa j pri čemu važi .

Stanje u kome se sistem nalazi označavaćemo sa , gde je j broj zahteva u sistemu. Kako je već navedeno u uvodu, stanje sistema zavisi od broja zahteva u njemu, pa se pretpostavlja da su ta stanja međusobno različita, što čini drugu pretpostavku. Sistem se, dakle, može naći u ukupno n+1 stanju.

Intenzitet prispeća zahteva u sistem označićemo sa λ a intenzitet odlazaka zahteva iz sistema sa μ. Shodno drugoj pretpostavci, samtraćemo da su intenziteti prispeća i odlazaka zahteva zavisni od broja zahteva u sistemu j pa tako dakle imamo:

• kada se u sistemu nalazi n zahteva, nemože biti novih prispeća tj.

• kada u sistemu nema nijedan zahtev, nemože biti odlazaka tj.

Treća pretpostavka je statističkog karaktera. Pretpostavićemo da se dva dolaska ili odlaska nemogu javiti (koincidirati) u isto vreme tj. preciznije u nekom kratkom vremenskom intervalu Δt. To znači da sistem iz stanja može preći samo u stanja (prilikom pojave novog zahteva) ili (prilikom odlaska jednog zahteva). Stanje se naziva prethodno a sledeće stanje.

 Eksponencijalni model rođenja i smrti

Kada posmatrani vremenski interval t teži nuli, izvod verovatnoće pojave i novih zahteva u sistemu je:

Kada je vreme t jako malo, možemo koristiti oznaku dt. Sada verovatnoće pojave i zahteva u vremenskom intervalu dt možemo izračunati kao:

Isti rezon može se primeniti i na odlaske zahteva iz sistema. Tada bi umesto λ u gornjim jednačinama figurisalo μ.

Verovatnoća da će sistem iz j-tog preći u j+1 stanje jednaka je proizvodu verovatnoće da je sistem u stanju j i verovatnoće da se jedan novi proces pojavio. Shodno prethodnim jednačinama:

Verovatnoća da će sistem iz stanja j preći u stanje j-1 jednaka je proizvodu verovatnoće da je sistem u stanju j i verovatnoće da je jedan proces otišao iz sistema:

Verovatnoću da se sistem nalazi u nekom j-tom stanju možemo naći sledećim razmišljanjem: sistem je ili bio u j-tom stanju ili je u to stanje došao iz stanja j-1 odnosno j+1. Simbolično to možemo zapisati formulom:

Izračunajmo sada verovatnoću da se sistem u trenutku t+dt nađe u stanju j. Shodno prethodnim formulama sada dolazimo do konkretnih formula:

;

Drugi početni uslov kaže da se u trenutku t=0 sistem mora nalaziti u nekom početnom stanju j_poč koje se bira iz skupa stanja:

Treći početni uslov je uslov statističkog ekvilibrijuma. Verovatnoće nalaženja sistema u stanju j nesmeju se menjati tokom vremena tj. biti funkcije vremena. U tom slučaju izvod verovatnoća p_j po vremenu, u svakom trenutku, mora biti nula. Sistem se tada nalazi u statističkoj ravnoteži, što se matematički zapisuje kao:

, j=0,1,2, … ,n

Sada verovatnoće možemo izraziti preko i intenziteta prispeća/odlazaka zahteva i prema donjim formulama:

što ustvari predstavlja uslov izbalansiranosti saobraćaja između stanja j i j-1. Gledano u nekom dužem vremenskom intervalu, broj prelazaka sistema iz stanja j-1 u stanje j biće jednak broju prelazaka sistema iz stanja j u stanje j-1. Ova izbalansiranost je posledica trećeg početnog uslova tj. statističke ravnoteže sistema.

Konačno, imajući u vidu gornji sistem dolazimo do formula rođenja i smrti:

Teorijski zančaj ogleda se u mogućnosti da iz tih veličina iznađemo i neke od parametara koji bi konkretnije okarakterisali posmatrani sistem. Ti parametri dati su dole.

Prosečan broj zahteva J u posmatranom sistemu možemo odrediti kao matematičko očekivanje stanja u kome se sistem nalazi. Kako je stanje sistema prosta funkcija broja zahteva u njemu to imamo:

Produktivnost sistema /eng. throughput/ prestavlja intenzitet kojim zahtevi napuštaju sistem. Označava se sa X a računa kao suma proizvoda intenziteta odlazaka zahteva i verovatnoće j-tog stanja sistema tj.

Iskorišćenost sistema, u oznaci U, je jednostavno verovatnoća da sistem radi. Drugačije rečeno, sistem radi onda kad nije besposlen tj. kad ima bar jedan zahtev u njemu. Dakle:

Litlova /Little/ formula daje nam vezu između prosečnog broja zahteva i njihovog srednjeg vremena boravka u posmatranom sistemu. Ove dve veličine su direktno srazmerne, gde je koeficijent srazmernosti ustvari produktivnost sistema:

Dakle, posle nekog vremena T svih J zahteva koji se nalaze u sistemu biće potpuno obrađeni.

é povratak na početak é